id:nazosan
ネット上で「間違ったこと言ってるこいつ」といって議論に参加した人は、その「間違ったこと」がなんだったか教えてください。画像提供: https://xkcd.com/386/
かなり厳しく見ると、「p-adic 弦理論そのものが宇宙の基礎理論である」証拠は現状ほぼありません。ただし、単なる知的パズルとも言い切れません。主な価値は、通常の弦理論では複雑すぎる構造を、解析可能な模型にすることです。
発端の一つは Veneziano 振幅です。通常は実数 ℝ 上で考える積分を p-adic 数体 ℚₚ 上へ移すと、p-adic Veneziano 振幅が得られます。そして実数側の振幅 A∞ と、各素数 p に対応する p-adic 振幅 Aₚ の間には、概略
A∞ ∏ₚ Aₚ = 定数
という adelic な積公式が成立します。
つまり普通の弦振幅を、「実数だけの孤立した理論」ではなく、
ℝ とすべての ℚₚ
をまとめた算術的構造の一部分として見る余地が出てくる。ここは単なる「数字を変えて遊んでみました」よりかなり深いところです。
実際の物理で特に重要なのは、p-adic open string の有効作用が非常に単純になることです。概略、
S ∼ ∫ dᴰx [ −½ φ p^(−□/2) φ + 1/(p+1) φ^(p+1) ]
となります。
ここで
p^(−□/2) = exp[−(ln p)□/2]
なので、この理論は無限階微分を含む非局所場理論です。
普通の string field theory にも非局所性は現れますが、計算が非常に難しい。ところが p-adic string では、その非局所性が比較的扱いやすい形でむき出しになります。
このおかげで、tachyon condensation もかなり明示的に調べられます。
たとえば不安定な D-brane 上の tachyon が凝縮して brane が消えることや、tachyon lump が低次元 D-brane に対応することを、p-adic string では厳密解を使って調べられる。
つまり、
通常の弦理論
→ 現象は重要だが計算困難p-adic string
→ 同じような構造を持つが計算可能という位置づけです。
さらに面白いのが p-adic AdS/CFT です。
普通の AdS/CFT では、
境界 = 連続的な時空
bulk = AdS 空間ですが、p-adic 版では概略
境界 = ℚₚ
bulk = Bruhat–Tits treeになります。
Bruhat–Tits tree はただの木構造です。連続的な曲がった時空ですらありません。
ところが、この木の上に場を置いて境界相関関数を計算すると、通常の AdS/CFT と非常によく似た構造が出てきます。
特に、
木の深さ ↔ RG scale
という対応が極めて自然です。
つまり通常の holography における
境界理論
↓ coarse graining
RG flow
↓
bulk の奥行きという構造を、ほとんど図解レベルまで単純化できる。
だから p-adic AdS/CFT は、
「なぜ RG のスケール方向が空間次元のように振る舞うのか」
を研究する玩具模型として使われます。
整理すると、
通常の理論 → p-adic 模型
string field theory の非局所性 → 明示的な非局所有効作用
tachyon condensation → 厳密解
D-brane → tachyon lump
AdS geometry → Bruhat–Tits tree
radial direction → 木の階層
RG flow → tree 上の coarse graining
holography → 離散的な模型で再現という感じです。
ただし限界もかなり大きい。
ℚₚ が実際の宇宙の時空を記述している証拠はありません。
Standard Model が出てくるわけでもない。
電子質量や微細構造定数を予言するわけでもない。
通常の superstring theory や M-theory 全体を p-adic 化した完成理論があるわけでもない。
したがって評価としては、
「宇宙の究極理論」
→ 現状かなり弱い。「数学的構造」
→ 非常に面白い。「弦理論・非局所場理論・holography の solvable model」
→ ここが本命。です。
より本質的には、p-adic string theory が問うているのは、
「宇宙は ℚₚ でできているのか？」
ではなく、
「弦理論のどの部分が ℝ 特有で、どの部分がもっと普遍的なのか？」
です。
ℝ を ℚₚ に変えても、
scattering
tachyon
D-brane
非局所性
RG
holographyといった構造が残るなら、それらは実数解析固有の偶然ではなく、弦理論のより深い代数的構造を反映している可能性がある。
なので一言で言えば、
p-adic 弦理論は宇宙を直接説明するためというより、弦理論を解剖するための模型です。
高度な知的パズルという側面は確かにあります。ただし、そのパズルを解くことで通常の弦理論の何が本質で何が飾りなのかを判別できる、というタイプのパズルです。人類は難しい理論を理解するために、さらに妙な数体系へ逃げ込むという妙技をしばしば使います。
はい。フリードマンは「政府をなくせ」とは考えていません。彼の立場はむしろ、政府は自由社会に不可欠だが、その権限・活動範囲・裁量を厳しく限定しなければならないという古典的自由主義です。『資本主義と自由』第2章では、かなり明瞭に、
“The consistent liberal is not an anarchist.”
「首尾一貫した自由主義者は、無政府主義者ではない。」と書いています。さらに、無政府状態は魅力的な哲学かもしれないが、「不完全な人間の世界では実行可能ではない」と述べています。
1. フリードマンにとって政府は「主人」ではなく、「ルール設定者＋審判」
彼の政府観を最もよく表す比喩は、ゲームの審判です。
社会には、財産とは何か、契約をどう解釈するか、誰かが他人の自由を侵害したときどうするか、といった「ゲームのルール」が必要です。そしてルールについて争いが生じれば、それを裁定する審判も必要です。
彼自身の表現では、政府の基本的役割は、
“to provide a means whereby we can modify the rules, to mediate differences … and to enforce compliance with the rules”
つまり、ルールを変更する手続きを用意し、ルールの解釈をめぐる紛争を仲裁し、ルールを守らせることです。
したがってフリードマンの国家は、単なる警察国家より若干広い。具体的には、彼が第2章の結論で政府に認めているものを整理すると、次のようになります。
- 国防・治安維持――外国からの侵略と、国内での他人による強制から個人を守る。彼は政府の主要機能を「法と秩序を維持し、私的契約を執行し、競争市場を促進すること」と表現しています。
- 契約の執行と裁判制度――自発的に締結された契約を強制可能にし、紛争を裁定する。
- 財産権の定義・保護――何が誰の財産なのかを法で定義し、その権利を執行する。特許・著作権なども、単なる「自然権」ではなく、政府が具体的な権利範囲を定める必要がある制度問題だと考えています。
- 競争条件の維持――暴力、談合、政府が作り出す参入障壁などによって競争が破壊されないようにする。政府自身が独占を作ることには強く反対しますが、反トラスト法のような競争ルールの執行は政府機能に含めています。
- 通貨制度の枠組み――貨幣は政府が一定の役割を果たさざるを得ない特殊領域だと認めています。ただし中央銀行の大きな裁量は危険なので、できるだけ「ルール」に縛るべきだとします。
- 市場だけでは処理困難な外部効果への対応――彼の用語では “neighborhood effects”。現代経済学でいう外部性に近いものです。
- 技術的独占への限定的対応――水道など、技術的理由で一企業しか成立しにくい場合。ただし規制・公営化を積極的に推奨しているわけではありません。
- 判断能力を十分にもたない人の保護――特に子どもや精神的に責任能力をもたない人については、限定されたパターナリズムを認めます。
この全体を彼自身が一文で要約しており、法秩序、財産権、契約、競争、貨幣制度、技術的独占、外部効果、子ども等の保護を列挙しています。これらを行う政府には「明らかに重要な機能がある」としたうえで、「しかしその機能は明らかに限定される」と続けています。
2. ですから、フリードマンは純粋な「夜警国家論」より少し広い
ここが重要です。しばしばフリードマンは「警察・軍隊・裁判所だけの国家」を唱えたように描かれますが、『資本主義と自由』をそのまま読むと、それでは狭すぎます。
たとえば外部性について、彼は市場取引が成立しにくい場合があることを明確に認めています。川上の工場が川を汚染して川下の住民に損害を与えるようなケースでは、その第三者効果を通常の市場取引だけで処理することが難しい。こういう場合には政府行動の根拠があり得ます。
ただし、ここから「市場失敗があれば政府が介入すべきだ」と単純には進みません。非常にフリードマンらしい一節があります。
“Neighborhood effects cut both ways.”
つまり、外部効果という論拠は、政府を拡大する理由にも、政府を制限する理由にもなるということです。政府の介入そのものも第三者に費用を負わせたり、自由を制限したりするからです。
したがって彼の判定基準は、「市場に欠陥があるか」ではなく、
- 政府介入による利益
- 介入の行政費用
- 政府失敗
- 自由の喪失
がかなり明確な差をもって成立するか、という比較です。これは私が彼の議論を数式化したものですが、フリードマン自身も、政府を使うなら
“there should be a clear and large balance of advantages”
つまり、利益の側に「明瞭で大きな差」がなければならない、と述べています。
ですから、通常の厚生経済学的な
市場失敗 → 政府介入
ではなく、
市場失敗 vs. 政府失敗＋強制のコスト
を比較するのがフリードマンです。
3. 独占に対しても、「政府規制なら解決」とは考えない
ここも彼の政府観を理解するうえで重要です。
フリードマンは、技術的理由から自然独占が生じることは認めています。そのときの選択肢を、
①民間独占、②公的独占、③政府規制
の三つとし、
“All three are bad, so we must choose among evils.”
という趣旨で論じています。つまり、全部「悪」であり、その中からより小さい悪を選ぶ問題だというわけです。
しかも彼は、耐えられる程度であれば、
“private monopoly may be the least of the evils.”
「民間独占が最も小さい悪かもしれない」と結論します。理由は、民間独占なら技術革新や新規参入によって崩れる可能性がある一方、政府規制や公営企業は政治制度として固定化され、廃止しにくいからです。
つまり彼は市場の不完全性を否定しているのではなく、政府もまた不完全であることを分析に組み込むわけです。
4. 教育には政府の役割を認める。しかし「政府が学校を運営すること」とは別
教育政策は典型的な例です。
フリードマンは初等・中等教育について政府関与を完全には否定しません。その根拠を明示的に二つ挙げています。
一つは外部効果。民主社会を維持するために最低限の教育を受けた市民がいることは、本人だけでなく他人にも利益を与える。
もう一つは子どもに対するパターナリズムです。子ども自身を完全な契約主体として扱うわけにはいかない。
しかし彼は、
「政府が教育費を負担すること」
≠
「政府が学校を所有・運営すること」と切り分けます。
そこから有名な教育バウチャー案につながります。公立学校を国家が一元的に運営するより、親に教育費相当額を与えて、条件を満たす民間学校を含めて選択させる方が競争と自由を残せる、という発想です。
これはフリードマンの政府論全体を非常によく表しています。政府による資金供給を認めても、政府による生産まで正当化されるわけではないのです。
5. パターナリズムは「責任能力のない者」に限定したい
フリードマンはパターナリズムを完全否定するわけでもありません。
“Paternalism is inescapable for those whom we designate as not responsible.”
つまり、責任能力をもたないと判断される者については、ある種のパターナリズムは避けられない、と認めます。代表例は子どもや精神的に判断能力を欠く人です。
しかし、正常な成人に対する「あなたのためだから」という強制には強く反対します。
たとえば強制的な老齢年金について、「本人は近視眼的だから政府が代わって老後に備えさせる」という主張を、論理的には一貫したパターナリズムだと認めつつ、それは「responsible people」、つまり責任能力をもつ成人に対するパターナリズムなので、自由主義的根拠にはならないと考えます。
この境界線はかなり明確です。
6. さらに重要なのは「政府の大きさ」だけでなく「政府権力の分散」
フリードマンは政府の機能を狭くするだけでなく、権力を地方に分散することも強く要求します。
『資本主義と自由』の序論では二つの原則を掲げます。
第一に、
“the scope of government must be limited.”
政府の範囲は限定されなければならない。
第二に、government power must be dispersed、政府権力は分散されなければならない、とします。地方自治体でできるなら州に任せず、州でできるならワシントンの連邦政府に任せない、という考え方です。
その理由は「退出」の可能性です。ある自治体の政策が嫌なら別の自治体へ移れる。しかし中央政府が全国一律に決めれば、その逃げ道がなくなる。
したがってフリードマンの理想は単純な小さな政府というより、
- 限定された機能
- 明確なルール
- 権力分散
- 市場による選択
です。
7. 逆に、彼が政府にやらせたくないこと
『資本主義と自由』第2章の最後では、当時アメリカ政府が実施していた政策のうち、彼の原則では正当化できないものをかなり露骨に列挙しています。農産物価格支持、関税・輸出入制限、生産量統制、家賃統制・価格統制・賃金統制、最低賃金、産業への詳細な規制、FCCによる放送統制、強制的な社会保障年金、職業免許制度、公営住宅・住宅金融補助、平時の徴兵、国立公園の政府運営、郵便の政府独占、公営有料道路などです。
このリストを見ると彼の政府観はかなり小さい。しかし、ゼロではありません。
8. 一番短く言えば、「強いが狭い政府」です
フリードマンを「政府嫌い」とだけ理解すると少し違います。
彼は、政府が必要な領域ではかなり強力でなければならないと考えています。暴力を取り締まり、契約違反を裁き、財産権を明確にし、ルールを確実に執行する政府です。ルールが守られなければ自由市場そのものが成立しないからです。
一方で、政府が「何を生産すべきか」「どの職業に就くべきか」「どの商品をいくらで売るべきか」「どの学校へ行くべきか」といった個々の選択の中身を決定することには非常に強く反対します。
したがって彼にとって理想の国家は、
「プレーヤーとして経済を動かす国家」ではなく、「ゲームのルールを定め、審判し、例外的な市場失敗を処理する国家」
です。
そしてこの区別を一番端的に表しているのが、
“Government is necessary to preserve our freedom … yet … it is also a threat to freedom.”
という彼の逆説です。政府は自由を守るために必要だが、権力を集中させることで同時に自由への脅威にもなる。だから、政府をなくすのではなく、政府そのものをルールで拘束する――これがフリードマンの基本構想です。
なお、これはシカゴ学派のより広い伝統とも整合的です。シカゴの古典的自由主義には、自由市場だけでなく「経済権力の分散」と「政治的分権」を重視する伝統があったと整理されています。
あります。この観点で整理すると、経済思想の違いがかなり見通しよくなります。単なる「政府が大きい／小さい」より、「市場を何をする装置と見なし、政府を何をする装置と見なすか」で分類した方が本質的です。
かなり単純化すると、次のようになります。なお「ケインズ派」などは内部差が大きいので、典型像として見てください。人類は学派名ひとつにも派閥を増殖させるので。
学派・思想 市場をどう見るか 政府をどう見るか 市場の主な問題 政府の主な問題 古典派 価格による自己調整装置 法・秩序・公共財を供給する補助役 独占など 過剰介入 新古典派 希少資源を効率的に配分する装置 市場失敗を補正する主体 外部性・公共財・情報問題 政府失敗 マネタリスト 基本的には自己調整する分散的市場 安定した貨幣的ルールを提供する主体 貨幣的攪乱の影響 裁量政策・予測不能な貨幣政策 ケインズ派 需要不足などで均衡しても失業が残り得る装置 総需要を管理する安定化装置 不完全雇用・需要不足 政策ラグ・誤調整 ニューケインジアン 価格・賃金が硬直する市場 摩擦を緩和し景気を安定化する主体 名目硬直性・情報摩擦 誤った政策ルール オーストリア学派 分散知識を価格に集約する発見プロセス 市場秩序を壊しやすい外部介入者 通常は政府介入由来の歪みを重視 知識不足・価格シグナル破壊 シカゴ学派 インセンティブと価格による強力な調整装置 市場より特別に賢いわけではない主体 明確な市場失敗 規制捕捉・情報不足・政治的インセンティブ 公共選択論 私人が自己利益を追求する制度 政治家・官僚も自己利益を追求する制度 市場失敗 政府失敗・レントシーキング オルド自由主義 競争が成立すれば有効な秩序 競争秩序そのものを設計・維持する主体 独占・カルテル 恣意的な経済介入 社会民主主義 生産には有効だが分配は望ましくない場合がある 再分配・社会保障による補完主体 格差・リスク 非効率・財政負担 マルクス経済学 資本蓄積と階級関係を再生産する制度 階級支配を反映する制度 搾取・資本集中・危機 国家自体も階級構造の一部 特に重要なのは、これをさらに「市場観」と「政府観」の2軸に分解することです。
市場については、おおむね次の問いで学派が分かれます。
-
市場は「均衡装置」なのか「発見装置」なのか
新古典派は価格を需給を一致させる調整機構として見る傾向があります。一方、ハイエク的な市場観では、価格は誰も全体を知らない状況で分散した知識を伝達する通信機構です。 -
市場は自動的に自己修正するのか
マネタリストはかなり肯定的です。ケインズ派は、失業を抱えた状態が長期間続く可能性を重視します。 -
価格は十分速く動くのか
古典派・マネタリスト側では比較的「動く」と考える傾向があり、ニューケインジアンは価格や賃金の硬直性をモデルの中心に置きます。 -
市場参加者は政府より情報を持っているのか
ハイエク、シカゴ学派、公共選択論では、ここが非常に重要です。政府が「正しい価格」や「適切な生産量」を知っているという前提そのものを疑います。
政府についても同様です。
マネタリスト、特にフリードマン的な見方では、政府は「経済を操縦する有能な運転手」というより、「ルールを設定する審判」に近いです。
市場：
「大量の人間が価格を介して分散的に調整するシステム」政府：
「所有権、契約、法秩序、通貨制度などのルールを提供するシステム」という整理になります。
したがって、フリードマンにとって政府の問題は単純に「政府は悪い」ではありません。むしろ、
政府には情報が足りない
＋
政策には認識ラグ・実施ラグ・効果ラグがある
＋
政治家や官僚にも独自のインセンティブがある
＋
政策変更そのものが市場参加者の予想を乱すという構造的問題があります。
ここがケインズ的発想との大きな違いです。
非常に乱暴に一行で対比すれば、
ケインズ的世界観
「市場経済は不安定になり得るので、政府が安定化させる。」フリードマン的世界観
「市場経済の不安定のかなりの部分は政府、とりわけ不安定な貨幣政策によって作られているので、政府自身をルールで縛る。」ハイエク的世界観
「そもそも政府には経済を最適化するために必要な分散知識を集められない。」公共選択論的世界観
「政府が正しい情報を持っていると仮定しても、政府が公益だけを追求するという保証がない。」となります。
この整理はかなり強力で、実際には「政府か市場か」という一次元軸より、次の4項目で思想を比較すると分かりやすいです。
① 情報処理：誰が経済について最もよく知っているか
② インセンティブ：市場参加者・官僚・政治家は何を目的に行動するか
③ 調整能力：価格・賃金・生産は自律的に調整されるか
④ 失敗比較：「市場失敗」と「政府失敗」のどちらをより深刻と見るかすると、
ケインズ派
市場失敗 ＞ 政府失敗シカゴ／フリードマン
市場失敗もあるが、政府失敗も同じ基準で比較せよハイエク
政府にはそもそも必要な知識を集中できない公共選択論
政府を「善意の全知全能者」と仮定するなという違いが非常に鮮明になります。
このテーマを直接読むなら、特に相性がいいのはフリードマン『資本主義と自由』、ハイエク「社会における知識の利用」、ケインズ『雇用・利子および貨幣の一般理論』、ブキャナン／タロック『合意の計算』あたりです。
そしておそらく一番使いやすい分類軸は、左右や「政府の大小」ではなく、
「市場＝情報処理機構／政府＝情報処理機構として、それぞれの情報・インセンティブ・誤り訂正能力をどう評価するか」
です。この軸なら、マネタリスト、ケインジアン、オーストリア学派、公共選択論の違いをかなり一貫した枠組みで比較できます。
-
子供の頃にこのPC教育ソフト(オージーズワールド)をやったのだけど、俺以外に覚えている人を見たことがない。
https://archive.org/details/OzziesWorldより深い構造では、4次元 𝒩 = 4 SYM 自体が6次元 (2,0) 理論をトーラス T² 上でコンパクト化したものとして理解できる。ここでゲージ理論の複素結合定数 τ は T² の複素構造に対応し、
τ → (aτ+b)/(cτ+d)
という SL(2,ℤ) 作用は、6次元側では単なるトーラスの modular transformation になる。つまり4次元ゲージ理論では非自明に見える S 双対性が、より高次元では幾何学的対称性として説明される。この構図では
6D (2,0) theory
→ compactification on T²
→ 4D 𝒩 = 4 SYM
→ S-duality
→ geometric Langlandsという経路が得られる。さらに、幾何学的ラングランズ対応に現れる対象は単なる関数ではなく、層・D-module・brane といった圏論的対象である。古典的ラングランズ対応が概略
数論的データ ↔ 表現論的データ
を対応させるのに対し、幾何学的ラングランズでは
D-modules on Bun_G(C)↔coherent sheaves on Loc_ᴸG(C)
という圏同士の対応へ持ち上げられる。物理側ではこれが Hitchin モジュライ空間上の A-brane と B-brane の対応として表現される。
A-branes on M_H(G,C)↔B-branes on M_H(ᴸG,C)
したがって mirror symmetry は単に二つの空間を対応させるだけではなく、その上に存在する brane の圏そのものを交換する。数学でいう「圏同値」が、物理では「二つの量子場理論が同じ物理を記述する」という双対性として現れるわけである。Wilson 演算子と 't Hooft 演算子の交換もこの圏論的対応に組み込まれる。Wilson 演算子は表現 R によりラベルされ、W_R として作用する。一方、S 双対性によって対応する 't Hooft 演算子は磁気電荷、すなわち Langlands 双対群 ᴸG の表現論と結びつく。この作用をコンパクト化後の brane に移すと Hecke modification となり、
Hecke operator acting on brane↔Wilson/'t Hooft operator
という対応が成立する。その結果、Hecke eigensheaf という一見極めて抽象的な数学的対象が、物理側では特定の brane が線演算子の作用に対して固有状態になるという形で理解できる。さらに結合定数を有限に保ったまま考えると、通常の幾何学的ラングランズより一般的な quantum geometric Langlands が現れる。その模式図は
Geometric Langlands
↓ deformation
Quantum Geometric Langlandsであり、S 双対性による結合定数の変換そのものが、対応する圏の変形パラメータを交換する。したがって関係は
超弦理論
→ brane
→ 超対称ゲージ理論
→ S 双対性
→ Hitchin モジュライ空間
→ mirror symmetry
→ brane の圏同値
→ Hecke eigensheaf
→ 幾何学的ラングランズという単なる比喩ではない。同一の双対性構造を、物理側では D-brane・S 双対性・mirror symmetry と呼び、数学側では Hitchin 系・Hecke 作用・Langlands 双対群・圏同値として記述しているのである。この意味でラングランズ・プログラムと超弦理論の接点は、「数論と弦理論が偶然似ている」という話ではない。少なくとも幾何学的ラングランズに関しては、超対称ゲージ理論の双対性そのものがラングランズ双対性を物理的に実現している。そしてその背後には、さらに6次元 (2,0) 理論という統一的構造が存在する。
6D (2,0)
→ 4D 𝒩 = 4 SYM
→ S-duality
→ 2D sigma model
→ Hitchin moduli space
→ mirror symmetry
→ geometric Langlandsであり、ラングランズ双対群 ᴸG の出現は外部から恣意的に持ち込まれたものではなく、電気・磁気双対性そのものから自然に要求される。幾何学的ラングランズ対応とは、超弦理論・超対称ゲージ理論に存在する双対性を数学の言語へ翻訳したものの一つである。物理学者が「同じ量子系の二つの記述」と呼ぶものを、数学者は「異なるモジュライ空間上の圏の同値」として見る。両者は別々の神秘を語っているのではなく、同じ構造を異なる言語で観測している。
超弦理論と直接結びつくのは主に幾何学的ラングランズ対応である。4次元 𝒩 = 4 超対称 Yang–Mills 理論では
τ = θ/(2π) + 4πi/g²
に対する S 双対性
(G, τ) ↔ (ᴸG, −1/τ)
があり、ゲージ群 G と Langlands 双対群 ᴸG が交換される。時空を Σ × C とし、リーマン面 C 上でコンパクト化すると、2次元理論の標的空間として Hitchin モジュライ空間 M_H(G,C) が現れ、
M_H(G,C) ↔ M_H(ᴸG,C)
という mirror symmetry が幾何学的ラングランズ対応を実現する。さらに 𝒩 = 4 Yang–Mills は Type IIB 超弦理論の D3-brane 上の低エネルギー理論であり、弦理論の S 双対性
F1 ↔ D1
は
Wilson 演算子 ↔ 't Hooft 演算子
となり、Hecke 演算子や Hecke eigensheaf の構造につながる。概略は
Type IIB
→ D3-brane
→ 4D 𝒩 = 4 SYM
→ Hitchin 系
→ A/B-model・brane
→ 幾何学的ラングランズである。したがって、超弦理論・超対称ゲージ理論の双対性が、数学側では幾何学的ラングランズ双対性として現れる。